2007-09-30

笛卡爾積

笛卡爾積


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在數學中，兩個集合 X 和 Y 的笛卡爾積(或直積)，表示為 X × Y，是其第一個構件是 X 的成員而第二個構件是 Y 的一個成員的所有可能的 有序對:

X\times Y = \{(x,y) \ | \ x\in X\;\land\;y\in Y\}。

笛卡爾積得名於笛卡爾，他的 解析幾何的公式化引發了這個概念。

具體的說，如果集合 X 是 13 個元素的點數集合 { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } 而集合 Y 是 4 個元素的花色集合 {♠, ♥, ♦, ♣}，則這兩個集合的笛卡爾積是 52 個元素的標準撲克牌的集合 { (A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), ( A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }。

笛卡爾積的性質

易見笛卡爾積滿足下列性質：

  1. 對於任意集合 A，根據定義有 A \times \emptyset = \emptyset \times A = \emptyset
  2. 一般來說笛卡爾積不滿足交換律，即當 A \neq \emptyset \wedge B \neq \emptyset \wedge A \neq B 時，A \times B \neq B \times A
  3. 笛卡爾不滿足 結合律，即當 A \neq \emptyset \wedge B \neq \emptyset \wedge C \neq \emptyset 時，(A \times B) \times C \neq A \times (B \times C)
  4. 笛卡爾積對集合的並和 交滿足分配律，即
A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)
(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)
A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)

笛卡爾平方和 n-元乘積

集合 X 的笛卡爾平方(或二元笛卡爾積)是笛卡爾積 X × X。一個例子是二維平面 R × R，這裡 R 是實數的集合 - 所有的點 ( x,y)，這裡的 x 和 y 是實數(參見笛卡爾坐標系)。

可以推廣出在 n 個集合 X1, ..., Xn 上的 n-元笛卡爾積:

X_1\times\ldots\times X_n = \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_1\in X_1\;\land\;\ldots\;\land\;x_n\in X_n\}。

實際上，它可以被認同為 (X1 × ... × Xn-1) × Xn。它也是 n-元組 的集合。

一個例子是歐幾里德三維空間 R × R × R，這裡的 R 再次是實數的集合。

為了輔助它的計算，可繪製一個表格。一個集合作為行而另一個集合作為列，從行和列的集合選擇元素形成有序對作為表的單元格。

無窮乘積

上述定義對最常用的數學應用而言通常就是所需要的全部。但是有可能在任意(可能無限)的集合的搜集上定義笛卡爾積。如果 I 是任何索引(標定)集合，而

\{X_i\ | i \in I\}

是由 I 索引的集合的搜集，則我們定義

\prod_{i \in I} X_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in X_i)\}，

就是定義在索引集合上的所有函數的集合，使得這些函數在特定索引 i 上的值是 Xi  的元素。

對在 I 中每個 j，定義自

\pi_{j}(f) = f(j) \

的函數

\pi_{j} : \prod_{i \in I} X_i \to X_{j} \

叫做第 j 投影映射。

n-元組可以被看作在 {1, 2, ..., n} 上的函數，它在 i 上的值是這個元組的第 i 個元素。所以，在 I 是 {1, 2, ..., n} 的時候這個定義一致於對有限情況的定義。在無限情況下這個定義是 家族。

特別熟悉的一個無限情況是在索引集合是自然數的集合 \mathbb N, 的時候: 這正是其中第 i 項對應於集合 Xi  的所有無限序列的集合。再次，\mathbb R 提供了這樣的一個例子:

\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^\omega= \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots

是實數的無限序列的搜集，並且很容易可視化為帶有有限數目構件的向量或元組。另一個特殊情況(上述例子也滿足它)是在乘積涉及因子 Xi 都是相同的時候，類似於「笛卡爾指數」。則在定義中的 無限並集自身就是這個集合自身，而其他條件被平凡的滿足了，所以這正是從 I 到 X 的所有函數的集合。

此外，無限笛卡爾積更少直覺性，儘管有應用於高級數學的價值。

斷言非空集合的任意非空搜集的笛卡爾積為非空等價於 選擇公理。

函數的笛卡爾積

如果 f 是從 A 到 B 的函數而 g 是從 X 到 Y 的函數，則它們的笛卡爾積 f×g 是從 A×X 到 B×Y 的函數，帶有

(f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))

上述可以被擴展到函數的元組和無限搜集。

參見

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